Question

（2012•道里區(qū)三模）口袋里裝有7個(gè)大小相同的小球，其中三個(gè)標(biāo)有數(shù)字1，兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字2，一個(gè)標(biāo)有數(shù)字3，一個(gè)標(biāo)有數(shù)字4．
（Ⅰ） 第一次從口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，記第一次與第二次取到小球上的數(shù)字之和為ξ．當(dāng)ξ為何值時(shí)，其發(fā)生的概率最大？說(shuō)明理由；
（Ⅱ） 第一次從口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，記第一次與第二次取到小球上的數(shù)字之和為η．求η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ可能的取值為2，3，4，5，6，7，8，由題設(shè)條件分別求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），P（ξ=7），P（ξ=8），由此求出當(dāng)ξ為4或5時(shí)，其發(fā)生的概率最大．
（Ⅱ）由題設(shè)知η可能的取值為2，3，4，5，6，7，分別求出P（η=2），P（η=3），P（η=4），P（η=5），P（η=6），P（η=7），由此能求出η的分布列和E（η）．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ可能的取值為2，3，4，5，6，7，8，
P(ξ=2)=

C 1 3 C 1 3

C 1 7 C 1 7

=

9

49

，
P(ξ=3)=

C 1 3 C 1 2 ×2

C 1 7 C 1 7

=

12

49

，
P(ξ=4)=

C 1 2 C 1 2

C 1 7 C 1 7

+

C 1 3 C 1 1 ×2

C 1 7 C 1 7

=

10

49

，
P(ξ=5)=

C 1 2 C 1 1 ×2

C 1 7 C 1 7

+

C 1 3 C 1 1 ×2

C 1 7 C 1 7

=

10

49

，
P(ξ=6)=

C 1 2 C 1 1 ×2

C 1 7 C 1 7

+

C 1 1 C 1 1

C 1 7 C 1 7

=

5

49

，
P(ξ=7)=

2

C 1 7 C 1 7

=

2

49

，
P(ξ=8)=

1

C 1 7 C 1 7

=

1

49

，
所以當(dāng)ξ為4或5時(shí)，其發(fā)生的概率最大．…（6分）
（Ⅱ）由題設(shè)知η可能的取值為2，3，4，5，6，7，…（7分）
P（η=2）=

C 2 3

C 2 7

=

1

7

，
P（η=3）=

C 1 3 C 1 2

C 2 7

=

2

7

，
P（η=4）=

C 1 3 + C 2 2

C 2 7

=

4

21

，
P（η=5）=

C 1 3 + C 1 2

C 2 7

=

5

21

，
P（η=6）=

C 1 2

C 2 7

=

2

21

，
P（η=7）=

1

21

，
∴η的分布列為：

…（11分）
E（η）=2×

1

7

+3×

2

7

+4×

4

21

+5×

5

21

+6×

2

21

+7×

1

21

=4．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識(shí)的合理運(yùn)用．