Question

（2012•道里區三模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且acosB-bcosA=

1

2

c，當tan（A-B）取最大值時，角C的值為

π

2

．

Answer 1

分析：利用正弦定理及誘導公式化簡已知的等式，整理后利用同角三角函數間的基本關系弦化切后得到tanA=3tanB，利用兩角和與差的正切函數公式化簡tan（A-B），將tanA=3tanB代入，利用基本不等式變形，求出tan（A-B）取得最大值時tanA與tanB的值，進而確定出A與B的度數，即可此時得到C的度數．

解答：解：利用正弦定理化簡已知的等式得：sinAcosB-sinBcosA=

1

2

sinC=

1

2

sin（A+B）=

1

2

（sinAcosB+cosAsinB），
整理得：sinAcosB=3cosAsinB，
兩邊除以cosAcosB得：tanA=3tanB，
則tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

2tanB

1+3tan2B

=

2

3tanB+ 1 tanB

，
∵A、B是三角形內角，且tanA與tanB同號，
∴A、B都是銳角，即tanA＞0，tanB＞0，
∴3tanB+

1

tanB

≥2

3

，當且僅當3tanB=

1

tanB

，即tanB=

3

3

時取等號，
∴tanA=3tanB=

3

，
∴A=

π

3

，B=

π

6

，
則C=

π

2

．
故答案為：

π

2

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，正弦定理，同角三角函數間的基本關系，誘導公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．