Question

【題目】如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．設∠DAB=θ（0＜θ＜ ），L為等腰梯形ABCD的周長．
（1）求周長L與θ的函數解析式；
（2）試問周長L是否存在最大值？若存在，請求出最大值，并指出此時θ的大小；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BD，則∠ADB=90°，

∴AD=BC=4cosθ．

作DE⊥AB于M，CN⊥AB于N，

得AM=BN=ADcosθ=4cos2θ，

∴DC=AB﹣2AM=4﹣8cos2θ．

∴△ABC的周長L=AB+2AD+DC=4+8cosθ+（4﹣8cos2θ）=8+8cosθ﹣8cos2θ．

（2）解：令t=cosθ，由 ，知t∈（0，1）．

則 ，

當t= ，即 ， 時，L有最大值10．

∴當θ=60°時，L存在最大值10

【解析】（1）由于AB是圓O的直徑，所以三角形ABD是直角三角形，連BD，過D作DE⊥AB于E，則由射影定理可知AD2=AEAB，從而可用腰長表示上底長，進而可求梯形的周長y與腰長x之間的函數關系式，根據上底長，可確定函數的定義域；（2）令t=cosθ，由 ，知t∈（0，1）．利用配方法可知函數函數在（0， ）上單調遞增，在（ ，1）單調遞減，由此可求周長y的最大值．