Question

(本小題滿分12分)已知各項均為正數的數列{}的前n項和滿足，且

（1）求{}的通項公式；

（2）設數列{}滿足，并記為{}的前n項和，

求證：.  

Answer 1

（I）解：由，解得或，由假設，因此，

又由，

得，

即或，因，故不成立，舍去．

因此，從而是公差為，首項為的等差數列，

故的通項為．

（II）證法一：由可解得；

從而．

因此．

令，則．

因，故．

特別地，從而．

即．

證法二：同證法一求得及，

由二項式定理知，當時，不等式成立．

由此不等式有

．

證法三：同證法一求得及．

令，．

因．因此．

從而

．

證法四：同證法一求得及．

下面用數學歸納法證明：．

當時，，，

因此，結論成立．

假設結論當時成立，即．

則當時，

因．故．

從而．這就是說，當時結論也成立．

綜上對任何成立．

解析:

（I）解：由，解得或，由假設，因此，

又由，

得，

即或，因，故不成立，舍去．

因此，從而是公差為，首項為的等差數列，

故的通項為．

（II）證法一：由可解得；

從而．

因此．

令，則．

因，故．

特別地，從而．

即．

證法二：同證法一求得及，

由二項式定理知，當時，不等式成立．

由此不等式有

．

證法三：同證法一求得及．

令，．

因．因此．

從而

．

證法四：同證法一求得及．

下面用數學歸納法證明：．

當時，，，

因此，結論成立．

假設結論當時成立，即．

則當時，

因．故．

從而．這就是說，當時結論也成立．

綜上對任何成立．