Question

圓上一點A(4，6)作圓的一條動弦AB，點P為弦AB的中點.
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設點P關于點D(9，0)的對稱點為E，O為坐標原點，將線段OP繞原點O依逆時針方向旋轉90°后，所得線段為OF，求|EF|的取值范圍.

Answer 1

（1）(x≠4，y≠6)（2）

（Ⅰ）連結PC，由垂徑分弦定理知，PC⊥AB，所以點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除去點A).                                                                    

因為點A(4，6)，C(6，4)，則其中點坐標為(5，5)，又圓半徑.
故點P的軌跡方程是(x≠4，y≠6).                        
（Ⅱ）因為點P、E關于點D(9，0)對稱，設點，則點.         
設點，因為線段OF由OP繞原點逆時針旋轉得到，
則OF⊥OP，且|OF|＝|OP|，即
，且.
由，得.令，
則，所以t＝1.
因此點F的坐標為.                                       
所以.
設點M(9，－9)，則.                                        
因為點P為圓上的點，設圓心為N(5，5)，則
，
.                                          
故|EF|的取值范圍是.