Question

設f（x）=x²+a．記f¹（x）=f（x），fⁿ（x）=f（f^n-1（x）），n=1，2，3，…，集合M={a∈R|對所有正整數n，

.

fn(0)

.

≤2}．
證明：M=[-2，

1

4

]．

Answer 1

分析：討論a，如果a＜-2，則

.

f1(0)

.

=|a|＞2，a∉M，如果當0≤a≤

1

4

時，

.

fn(0)

.

≤

1

2

，當-2≤a＜0時，

.

fn(0)

.

≤|a|，利用數學歸納法可證明，如果a＞

1

4

時，當n＞

2-a

a- 1 4

時，a_n+1＞n（a-

1

4

）+a＞2-a+a=2，即fⁿ⁺¹（0）＞2，從而可證得結論．

解答：證明：（1）如果a＜-2，則

.

f1(0)

.

=|a|＞2，a∉M．  …（5分）
（2）如果-2≤a≤

1

4

，由題意，f¹（0）=a，fⁿ（0）=（f^n-1（0））²+a，n=2，3，…．則
①當0≤a≤

1

4

時，

.

fn(0)

.

≤

1

2

，（?n≥1）．
事實上，當n=1時，

.

f1(0)

.

=|a|≤

1

2

，
設n=k-1時成立（k≥2為某整數），則對n=k，

.

fk(0)

.

≤

.

fk-i(0)

.

 ²+a≤（

1

2

）²+

1

4

=

1

2

．
②當-2≤a＜0時，

.

fn(0)

.

≤|a|，（?n≥1）．
事實上，當n=1時，

.

f1(0)

.

≤|a|，
設n=k-1時成立（k≥2為某整數），則對n=k，有-|a|=a≤（f^k-1（0））²+a≤a²+a
注意到當-2≤a＜0時，總有a²≤-2a，即a²+a≤-a=|a|．從而有

.

fk(0)

.

≤|a|．
由歸納法，推出[-2，

1

4

]⊆M．…（15分）
（3）當a＞

1

4

時，記a_n=fⁿ（0），則對于任意n≥1，a_n＞a＞

1

4

且a_n+1=fⁿ⁺¹（0）=f（fⁿ（0））=f（a_n）=

a

2 n

+a．
對于任意n≥1，a_n+1-a_n=

a

2 n

-a_n+a=（a_n-

1

2

）²+a-

1

4

≥a-

1

4

．則a_n+1-a_n≥a-

1

4

．
所以，a_n+1-a=a_n+1-a₁≥n（a-

1

4

）．當n＞

2-a

a- 1 4

時，a_n+1＞n（a-

1

4

）+a＞2-a+a=2，即fⁿ⁺¹（0）＞2．
因此a∉M．
綜合（1），（2），（3），我們有M=[-2，

1

4

]．

點評：本題主要考查了歸納推理，以及分類討論的數學思想，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．