已知橢圓C：
(
)經過
與
兩點.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足
．求證：
為定值．
（Ⅰ）
（Ⅱ）①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時
．同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時
．②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為
（
），
則直線OM的方程為
，設
，
，由
解得
，
，∴
，同理
，所以
，為定值
． 13分
解析試題分析：（Ⅰ）將與代入橢圓C的方程，
得
解得
，
．
∴橢圓的方程為． 6分
（Ⅱ）由，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關于原點對稱．
①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時．
同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時
．
②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為（），
則直線OM的方程為，設，，
由解得，，
∴，同理，
所以
，
故為定值． 13分
考點：橢圓方程及直線與橢圓的位置關系
點評：求橢圓方程采用的待定系數法，第二問中要證明式子結果是定值首先需求出點
坐標，結合已知條件可知這三點坐標教容易求出，因此只需聯立方程求解即可
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
過點
，上、下焦點分別為
、
，
向量
．直線
與橢圓交于
兩點，線段
中點為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線的方程；
（3）記橢圓在直線下方的部分與線段所圍成的平面區域（含邊界）為
，若曲線
與區域有公共點，試求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為
，點
是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，
．
（1）求拋物線的方程；
（2）設點
是拋物線上的兩點，
的角平分線與
軸垂直，求直線AB的斜率；
（3）在（2）的條件下，若直線
過點
，求弦的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在坐標原點，焦點在
軸上，其左、右焦點分別為
、
，短軸長為
，點
在橢圓上，且滿足
的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓的方程；；
（Ⅱ）設過點
的直線與橢圓相交于A、B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M使
恒為定值？若存在求出該定值及點M的坐標，若不存在請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
，
(1)化
的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？
(2)若
上的點P對應的參數為
，Q為
上的動點，求PQ的中點M到直線
的距離的最小值
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
、
分別為橢圓
：
的上、下焦點，其中也是拋物線
： 
的焦點，點
是與在第二象限的交點，且
。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點
（1，3）和圓
：
，過點的動直線
與圓相交于不同的兩點
，在線段
取一點
，滿足：
，
（
且
）。
求證：點總在某定直線上。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線
的離心率為
，右準線方程為
。
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線
與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓
上，求實數m的值。
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分別是橢圓：
的左、右焦點，過
傾斜角為
的直線
與該橢圓相交于P，
兩點，且
.
滿足
，求該橢圓的方程.
．
，且
成等差數列，求橢圓
的方程；
相交于
兩點，求
的取值范圍．