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在△ABC中,點O滿足
BO
=2
OC
,過O點的直線分別交射線AB,AC于不同的兩點M,N,若
AB
=m
AM
AC
=n
AN
,則mn的最大值是
 
考點:基本不等式
專題:不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析:如圖所示,
BO
=
BA
+
AO
OC
=
OA
+
AC
,利用
BO
=2
OC
,可得
AO
=
1
3
m
AM
+
2
3
n
AN
.由于O、M、N三點共線,利用共線定理可得
1
3
m+
2n
3
=1
,再利用基本不等式即可得出.
解答: 解:如圖所示,
BO
=
BA
+
AO
OC
=
OA
+
AC

BO
=2
OC

∴-
AB
+
AO
=2(
AC
-
AO
)

化為
AO
=
1
3
m
AM
+
2
3
n
AN

∵O、M、N三點共線,
1
3
m+
2n
3
=1
,化為m+2n=3.
只考慮m,n>0的情況,3=m+2n≥2
2mn
,化為mn≤
9
8
,當且僅當m=2n=
3
2
時取等號.
故答案為:
9
8
點評:本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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1
a
+
4
b
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x-2
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9
3
2
,則該球的體積為
 

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AB
=
 

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設(shè)全集U=R,集合A={x|2 x2-2x<1},B={x|x>1},則集合A∩∁UB等于(  )
A、{x|0<x<1}
B、{x|0<x≤1}
C、{x|0<x<2}
D、{x|x≤1}

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同步練習冊答案
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