Question

在△ABC中，點O滿足

BO

=2

OC

，過O點的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點M，N，若

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，則mn的最大值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，

BO

=

BA

+

AO

，

OC

=

OA

+

AC

，利用

BO

=2

OC

，可得

AO

=

1

3

m

AM

+

2

3

n

AN

．由于O、M、N三點共線，利用共線定理可得

1

3

m+

2n

3

=1，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：如圖所示，

BO

=

BA

+

AO

，

OC

=

OA

+

AC

，
∵

BO

=2

OC

，
∴-

AB

+

AO

=2(

AC

-

AO

)，
化為

AO

=

1

3

m

AM

+

2

3

n

AN

，
∵O、M、N三點共線，
∴

1

3

m+

2n

3

=1，化為m+2n=3．
只考慮m，n＞0的情況，3=m+2n≥2

2mn

，化為mn≤

9

8

，當且僅當m=2n=

3

2

時取等號．
故答案為：

9

8

．

點評：本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．