Question

【題目】知函數f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．

（1）判斷函數 f （x）的單調性；

（2）若函數 f （x）有兩個極值點x1，x2，求證：f（x1）+f（x2）＜﹣3．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，分別令得增區間， 得減區間；（2）求出，令，利用導數研究函數的單調性，求出的最大值即可證明.

試題解析：（1）由題意得，函數f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=2ax﹣2+=，

令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a，

①a≥時，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，

則f（x）在（0，+∞）遞增；

②a＜時，△=4﹣8a＞0，

由g（x）=0，解得：x1=，x2=，

（i）0＜a＜時，0＜x1＜x2，

此時f（x）在區間（x1，x2）遞減，在（0，x1），（x2，+∞）遞增；

（ii）a＜0時，x2＜0＜x1，

此時f（x）在區間（x1，+∞）遞減，在（0，x1）遞增，

∴a≥時，f（x）在（0，+∞）遞增，

0＜a＜時，f（x）在區間（x1，x2）遞減，在（0，x1），（x2，+∞）遞增，

a＜0時，f（x）在區間（x1，+∞）遞減，在（0，x1）遞增；

（2）證明：由（1）得0＜a＜時，函數f（x）有2個極值點x1，x2，

且x1+x2=，x1x2=，

∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），

令h（a）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），（0＜a＜），

則h′（a）=﹣（﹣）=＞0，

∴h（a）在（0，）遞增，

則h（a）＜h（）=﹣（ln+2）﹣（1+ln2）=﹣3，

即f（x1）+f（x2）＜﹣3．