Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓O上運(yùn)動(dòng)，若△PAB面積的最大值為，橢圓O的離心率為．

(1)求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)B點(diǎn)作圓E：的兩條切線，分別與橢圓O交于兩點(diǎn)C，D(異于點(diǎn)B)，當(dāng)r變化時(shí)，直線CD是否恒過(guò)某定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組可得.

（2）設(shè)過(guò)B的切線方程，由d=r，利用韋達(dá)定理得兩切線PC、PD的斜率、關(guān)系，把直線、代入橢圓方程求出C、D點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式建立CD方程，化簡(jiǎn)方程可得.

（1）由題可知當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，

所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為：，即：，

因?yàn)橹本�與圓：相切，所以，

即得.

設(shè)兩切線的斜率分別為，則，

設(shè)，，

由，

∴，即，∴；

同理：，；

∴，

所以直線的方程為：.

整理得：，

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).