Question

已知不等式（x-1）²≤a²，（a＞0）的解集為A，函數f(x)=lg

x-2

x+2

的定義域為B．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明函數f(x)=lg

x-2

x+2

的圖象關于原點對稱．

Answer 1

分析：（I）有不等式（x-1）²≤a²，（a＞0）解出集合A，再有函數f(x)=lg

x-2

x+2

的定義域為B，求出集合B，利用A∩B=φ，求a的取值范圍；
（II）先有f（x）的解析式求得該函數的定義域，再利用奇函數的圖象關于原點對稱進而把問題轉化為判斷函數的奇偶性．

解答：解：（Ⅰ）由（x-1）²≤a²，（a＞0），得1-a≤x≤1+a，A=x|1-a≤x≤1+a，
由

x-2

x+2

＞0得x＜-2或x＞2，B=x|x＜-2或x＞2，
∵A∩B=φ，∴-2≤1-a且1+a≤2（a＞0），∴0＜a≤1；
（Ⅱ）證明：∵f(x)=lg

x-2

x+2

（x＜-2或x＞2），
∴f(x)+f(-x)=lg

x-2

x+2

+lg

-x-2

-x+2

=lg(

x-2

x+2

×

x+2

x-2

)=lg1=0
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數，
∴f（x）的圖象關于原點對稱．

點評：此題考查了一元二次不等式的求解，還考查了學生的等價轉化的能力及奇函數的定義與判定．