Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（﹣1）=0，f（0）=0，求出函數f（x）的零點；
（2）若f（x）同時滿足下列條件：①當x=﹣1時，函數f（x）有最小值0，②f（1）=1求函數f（x）的解析式；
（3）若f（1）≠f（3），證明方程f（x）= [f（1）+f（3）]必有一個實數根屬于區間（1，3）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，f（0）=0，

∴a=b；

∴f（x）=ax（x+1）；

∴函數f（x）的零點是0和﹣1

（2）解：由條件①得： ，a＞0；

∴b=2a，b2=4ac，

∴4a2=4ac，

∴a=c；

由條件②知：a+b+c=1，

由 解得，

．

∴

（3）證明：令 ，

則 ，

，

∴ ，

∴g（x）=0在（1，3）內必有一個實根，

即方程 必有一個實數根屬于（1，3）．

【解析】（1）由f（﹣1）=0，f（0）=0得a=b；從而化簡f（x）=ax（x+1）；從而確定零點；（2）由條件化簡可得方程 ，從而解得；（3）令 ，從而可判斷 ，從而證明