Question

直線l與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于不同的兩點M，N，過點M，N作x軸的垂線，垂足恰好是橢圓的兩個焦點，已知橢圓的離心率是

2

2

，直線l的斜率存在且不為0，那么直線l的斜率是

±

2

2

．

Answer 1

分析：由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率是

2

2

，知a=2k，c=

2

k，b=

2

k，設橢圓的兩個焦點橫坐標是-c，c，則M（-c，-

b2

a

），N（c，

b2

a

），或M（-c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），由此能求出直線l的斜率．

解答：解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率是

2

2

，
∴a=2k，c=

2

k，b=

2

k，
設橢圓的兩個焦點橫坐標是-c，c，
則M（-c，-

b2

a

），N（c，

b2

a

），或M（-c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），
當M（-c，-

b2

a

），N（c，

b2

a

）時，
直線l的斜率k=

2b2 a

2c

=

b2

ac

=

2k2

2 2 k2

=

2

2

；
當M（-c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

）時，
直線l的斜率k=-

2b2 a

2c

=-

b2

ac

=-

2k2

2 2 k2

=-

2

2

．
故答案為：±

2

2

．

點評：本題考查直線的斜式的求法，具體涉及到橢圓的簡單性質及其應用、直線的斜率公式、直線與橢圓的位置關系等基本知識點，解題地要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．