Question

如圖，設斜率為

4

5

的直線l與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，若弦AB中點P的坐標為（-

5

2

，2），F為其右焦點．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若F點到直線l的距離為

32

41

41

，求△FAB的面積．

Answer 1

分析：（1）設出A，B的坐標，利用點差法，可求得

b2

a2

=

16

25

，從而可求橢圓的離心率；
（2）利用F點到直線l的距離為

32

41

41

，確定橢圓的方程，從而可求△FAB的面積．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點P的坐標為（-

5

2

，2）
∴x₁+x₂=-5，y₁+y₂=4
∵直線l的斜率為

4

5

，∴

y2-y1

x2-x1

=

4

5

∵A，B在橢圓上，
∴

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1
兩式相減可得：

(x2+x1)(x2-x1)

a2

+

(y2+y1)(y2-y1)

b2

=0
∴

-5(x2-x1)

a2

+

4(y2-y1)

b2

=0
∴

b2

a2

=

16

25

，∴

b

a

=

4

5

∴e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

3

5

；
（2）由（1）設a=5k，b=4k，則c=3k（k＞0），∴F（3k，0）
直線l的方程為y-2=

4

5

（x+

5

2

），即4x-5y+20=0
∵F點到直線l的距離為

32

41

41

，∴

|12k+20|

16+25

=

32

41

41

，∴k=1
∴橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1
∵直線l過橢圓上頂點（0，4）與左頂點（-5，0）
∴|AB|=

41

∴S_△FAB=

1

2

×

41

×

32

41

41

=16．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查點差法的運用，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．