Question

若斜率為

2

2

的直線l與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有兩個不同的交點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據題意可知：兩交點的橫坐標為-c，c，縱坐標分別為-

b2

a

，

b2

a

，所以由斜率公式可得：

b2 a -(- b2 a )

c-(-c)

=

2

2

轉化為：2b²=ac=2（a²-c²），兩邊同除以a²，轉化為了2e²+

2

e-2=0求解．

解答：解：由題意知：兩交點的橫坐標為-c，c，縱坐標分別為-

b2

a

，

b2

a

，
∴由

b2 a -(- b2 a )

c-(-c)

=

2

2

轉化為：2b²=2（a²-c²）=

2

ac
即2e²+

2

e-2=0，
解得e=

2

2

（負根舍去）．
故答案為：

2

2

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質及直線的斜率公式和離心率公式，同時，還考查了轉化思想．