Question

【題目】已知函數f（x）=ln（2ax+1）+ ﹣x2﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當a=﹣ 時，方程f（1﹣x）= 有實根，求實數b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： =

因為x=2為f（x）的極值點，所以f'（2）=0

即 ，解得a=0．

又當a=0時，f'（x）=x（x﹣2），從而x=2為f（x）的極值點成立

（2）解：因為f（x）在區間[3，+∞）上為增函數，

所以 在區間[3，+∞）上恒成立．

①當a=0時，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上為增函數，故a=0符合題意．

②當a≠0時，由函數f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a＞0，

所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0對x∈[3，+∞）上恒成立．

令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其對稱軸為 ，

因為a＞0所以 ，從而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，

因為g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，

解得 ．

因為a＞0，所以 ．

由①可得，a=0時，符合題意；

綜上所述，a的取值范圍為[0， ]

（3）解：若 時，方程 x＞0 可化為， ．

問題轉化為b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，

即求函數g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域

以下給出兩種求函數g（x）值域的方法：

方法1：因為g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），

則 ，

所以當0＜x＜1，h′（x）＞0，從而h（x）在（0，1）上為增函數，

當x＞1，h′（x）＜0，從而h（x'）在（1，+∞上為減函數

因此h（x）≤h（1）=0．

而x＞1，故b=xh（x）≤0，

因此當x=1時，b取得最大值0．

方法2：因為g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．

設p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，則 ．

當 時，p'（x）＞0，所以p（x）在 上單調遞增；

當 時，p'（x）＜0，所以p（x）在 上單調遞減；

因為p（1）=0，故必有 ，又 ，

因此必存在實數 使得g'（x0）=0，

∴當0＜x＜x0時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上單調遞減；

當x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x0，1）上單調遞增；

又因為 ，

當x→0時，lnx+ ＜0，則g（x）＜0，又g（1）=0．

因此當x=1時，b取得最大值0

【解析】（1）先對函數求導，由x=2為f（x）的極值點，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由題意可得 在區間[3，+∞）上恒成立，①當a=0時，容易檢驗是否符合題意，②當a≠0時，由題意可得必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，則a＞0，從而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0對x∈[3，+∞0上恒成立．考查函數g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），結合二次函數的性質可求（3）由題意可得 ．問題轉化為b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函數g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：構造函數g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），對函數h（x）求導，利用導數判斷函數h（x）的單調性，進而可求方法2：對函數g（x）=x（lnx+x﹣x2）求導可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2 ． 由導數知識研究函數p（x）=lnx+1+2x﹣3x2 ， 的單調性可求函數g（x）的零點，即g'（x0）=0，從而可得函數g（x）的單調性，結合 ，可知x→0時，lnx+ ＜0，則g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值