Question

（本小題滿分12分）如圖，已知正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F分別是A₁B₁、CC₁的中點，過D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G。  （1）求證：EG//D₁F；   （2）求銳二面角C₁—D₁E—F的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ) 見解析  (Ⅱ)   

解析:

（1）證明：在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

       平面ABB₁A₁//平面DCC₁D_1??。

       平面平面ABB₁A₁=EG，

       平面平面DCC₁D₁=D₁F，

             4分

   （2）解：如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD₁為軸、軸、z軸，建立空間直角坐標系，

       則有      6分

       設平面D₁EGF的法向量為    則由，

       得取，所以      8分

       又平面C₁D₁E的法向為         9分

       所以，

       所以，銳二面角C₁—D₁E—F的余弦值為     12分