Question

【題目】如圖，設拋物線 ： 的準線 與 軸交于橢圓 ： 的右焦點 ， 為 的左焦點．橢圓的離心率為 ，拋物線 與橢圓 交于 軸上方一點 ，連接 并延長交 于點 ， 為 上一動點，且在 ， 之間移動．

（1）當 時，求 的方程；

（2）若 的邊長恰好是三個連續的自然數。求到直線距離的最大值以及此時 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，此時.

【解析】

(1)根據題意得到，，則 ，，因為 ,從而求出參數值，進而得到方程；（2）聯立橢圓和拋物線得到點P的坐標，由橢圓定義得到，，，又 的邊長恰好是三個連續的自然數，所以 ，此時聯立直線PQ和拋物線方程求得點Q的坐標，，設出點M的坐標得到直線 的距離為 ，則 ，結合二次函數的特點得到最值.

（1） 因為 ，，則 ，，因為 ，所以，，

所以橢圓 的方程為 ．

（2） 因為 ，，則 ，，設橢圓的標準方程為 ，，，由 得 ，

所以 或 （舍去），代入拋物線方程得 ，

即 ，于是 ，，，

又 的邊長恰好是三個連續的自然數，所以 ．

此時拋物線方程為 ，，，

則直線 的方程為 ，

聯立

得 或 （舍去），

于是 ，

所以 ，

設 到直線 的距離為 ，則 ，

當 時，，此時