Question

【題目】已知{xn}是各項均為正數的等比數列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.

(1)求數列{xn}的通項公式；

(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區域的面積Tn．

Answer 1

【答案】(1)xn＝2n－1．(2) Tn＝．

【解析】試題分析：

（1）根據條件可求得等比數列中x1＝1，q＝2，故可得通項公式為xn＝2n－1．（2）由題意可得梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的上下底分別為，高為xn＋1－xn＝2n－1，故可得梯形的面積，并記為bn，則，然后根據錯位相減法求和即可．

試題解析：

(1)設等比數列{xn}的公比為q．

由題意得

消去x得3q2－5q－2＝0．

又q>0，

解得q＝2，

∴x1＝1．

∴數列{xn}的通項公式為xn＝2n－1．

(2)過P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1．

由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1．

記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn，則．

∴Tn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2， ①

又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1， ②

①－②得

－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1

，

∴．