Question

已知函數 ．
(Ⅰ)若在處的切線垂直于直線，求該點的切線方程，并求此時函數的單調區間；
(Ⅱ)若對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) ，的單調遞增區間是；單調遞減區間是和；
(Ⅱ) 或.

解析試題分析：(Ⅰ)通過切線垂直直線可以得到切線的斜率，解出，將代入求出切點坐標，從而求出切線方程，令和分別求出函數的單調遞增區間和遞減區間；(Ⅱ)通過對的討論，求出在上的最大值，令，解出的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ) ，根據題意，解得，
此時切點坐標是，故所求的切線方程是，即.
當時，，
令，解得，令，解得且，故函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是和．             5分
(Ⅱ) .
①若，則在區間上恒成立，在區間上單調遞增，函數在區間上的最大值為；                     7分
②若，則在區間上，函數單調遞減，在區間上，函數單調遞增，故函數在區間上的最大值為，中的較大者，，故當時，函數的最大值為，當時，函數的最大值為；                     9分
③當時，在區間上恒成立，函數在區間上單調遞減，函數的最大值為.                      11分
綜上可知，在區間上，當時，函數，當時，函數.
不等式對任意的恒成立等價于在區間上，，故當時，，即，解得或；當時，，即