Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣m（x+1）ln（x+1）（m＞0）的最大值是0，函數(shù)g（x）=x﹣a（x2+2x）（a∈R）． （Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若當x≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， f′（x）=1﹣m[ln（x+1）+1]
因為m＞0，所以f′（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減．
令f′（x）=0，得
當 時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當 時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
所以，當 時， =
于是， ，得
易知，函數(shù)y=ex﹣1﹣x在x=1處有唯一零點，所以 ，m=1．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x2+2x）﹣（x+1）ln（x+1），x≥0
則F′（x）=a（2x+2）﹣[ln（x+1）+1]
設h（x）=F′（x）=a（2x+2）﹣[ln（x+1）+1]
則
①當a≤0時，h′（x）＜0，F(xiàn)′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
則x∈[0，+∞）時，F(xiàn)′（x）≤F′（0）=2a﹣1＜0，F(xiàn)（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故當x∈[0，+∞）時，F(xiàn)（x）≤F（0）=0，與已知矛盾．
②當 時， ，
當 時，h′（x）＜0，F(xiàn)′（x）在 上單調(diào)遞減，
則 時，F(xiàn)′（x）＜F′（0）=2a﹣1＜0
故F（x）在 上單調(diào)遞減，
則當 時，F(xiàn)（x）＜F（0）=0，與已知矛盾．
③當 時，h′（x）＞0，F(xiàn)′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則x∈[0，+∞）時，F(xiàn)′（x）≥F′（0）=2a﹣1＞0
所以F（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
故當x∈[0，+∞）時，F(xiàn)（x）≥F（0）=0恒成立．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是 ．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，得到關于m的方程，求出m的值即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x），求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結合函數(shù)恒成立問題，求出a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．