Question

已知二次函數f（x）滿足：f（-1）=0，且8x≤f（x）≤4（x²+1）對于x∈R恒成立．
（Ⅰ）求f（1）及f（x）的表達式；
（Ⅱ）設g(x)=

x2-1

f(x)

，定義域為D，現給出一個數學運算：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…→x_n=g（x_n-1），若x_n∈D，則運算繼續下去；若x_n∉D，則運算停止給出x1=

7

3

，請你寫出滿足上述條件的集合D={x₁，x₂，x₃，…x_n}．

Answer 1

分析：（I）令x=1，可得f（1）的值，然后根據f（-1）=0與f（1）的值可求得b以及a與c的等量關系，最后根據ax²+bx+c≥8x恒成立，可求出a、b、c的值，從而求出所求；
（II）將x₁代入g(x)=

x2-1

f(x)

，可求出x₂，依此類推，當x_n∉D，則運算停止，從而得到滿足上述條件的集合D={x₁，x₂，x₃，…x_n}．

解答：解：（Ⅰ）由8x≤f（x）≤4（x²+1），令x=1，得8≤f（1）≤8，∴f（1）=8
設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（1）=8及f（-1）=0得

a+b+c=8 a-b+c=0

⇒b=4，a+c=4
又ax²+bx+c≥8x，即ax²-4x+4-a≥0對x∈R恒成立∴

a＞0， △=16-4ac≤0

，即（a-2）²≤0，
∴a=2，c=2，
故f（x）=2（x+1）²…（6分）
（Ⅱ）由g(x)=

x2-1

f(x)

=

x-1

2(x+1)

=

1

2

-

1

x+1

，由題意x1=

7

3

，x2=g(x1)=

1

5

，x3=g(x2)=-

1

3

，x4=g(x3)=-1，x5無意義，
故D={

7

3

，

1

5

，-

1

3

，-1}．…（12分）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數求值，同時考查了計算能力和轉化的思想，屬于中檔題．