Question

已知直線過定點，動點滿足，動點的軌跡為.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直線與交于兩點，以為切點分別作的切線，兩切線交于點.

①求證：；②若直線與交于兩點，求四邊形面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 根據(jù)直線斜率互為負(fù)倒數(shù)來得到證明，當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形面積的取到最小值。

【解析】

試題分析：（I）由題意知，設(shè)

化簡得     3分

（Ⅱ）①設(shè)，，

由消去，得，顯然.

所以， 

由，得，所以，

所以，以為切點的切線的斜率為，

所以，以為切點的切線方程為，又，

所以，以為切點的切線方程為……（1）

同理，以為切點的切線方程為……（2）

（2）-（1）并據(jù)得點的橫坐標(biāo)，

代入（1）易得點的縱坐標(biāo)，所以點的坐標(biāo)為

當(dāng)時，顯然

當(dāng)時，，從而   8分

②由已知，顯然直線的斜率不為0，由①知，所以，

則直線的方程為，

設(shè)設(shè)，，

由消去，得，顯然，

所以，.

又

 

因為，所以，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形面積的取到最小值    13分

考點：直線與拋物線的位置關(guān)系

點評：解決的關(guān)鍵是借助于向量的模來表示得到軌跡方程，并聯(lián)立方程組來得到弦長公式，進而得到面積的表示，屬于中檔題。