Question

已知直角坐標平面內的動點M滿足：|MA|²-|MB|²=4（|MB|-1），其中A（0，-1），B（0，1）．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過N（-2，1）作兩條直線交（Ⅰ）中軌跡C于P，Q，并且都與“以A為圓心，r為半徑的動圓”相切，求證：直線PQ經過定點．

Answer 1

分析：（1）設M（x，y），由|MA|²-|MB|²=4（|MB|-1）可得方程，化簡即可；
（2）設NQ、NP直線斜率分別為k₁，k₂，利用點斜式可寫出直線NQ、NP的方程，根據NQ、NP與動圓A相切可得k₁k₂=1，分別聯立直線與曲線方程可得Q、P坐標，由點斜式可寫出直線PQ的方程，據方程形式即可求得所過定點．

解答：解：（1）設M（x，y），由|MA|²-|MB|²=4（|MB|-1），
得x²+（y+1）²-[x²+（y-1）²]=4（

x2+(y-1)2

-1），
化簡得：x²=4y．
（2）設NQ、NP直線斜率分別為k₁，k₂，則直線NQ：y-1=k₁（x+2），即：k₁x-y+2k₁+1=0，
NP：y-1=k₂（x+2），即：k₂x-y+2k₂+1=0，
由NQ、NP與動圓A相切得：

2|k1+1|

k12+1

=

2|k2+1|

k22+1

，
化簡得：（k₁-k₂）（k₁k₂-1）=0，
∵k₁≠k₂，∴k₁k₂=1，
聯立

y=k1x+2k1+1 x2=4y

，解得Q（4k₁+2，(2k1+1)2），
同理：P（4k₂+2，(2k2+1)2），
∴k_PQ=

(2k2+1)2-(2k1+1)2

4(k2-k1)

=k₁+k₂+1，
∴PQ：y-(2k2+1)2=（k₁+k₂+1）[x-（4k₂+2）]，
化簡得：y=（k₁+k₂+1）（x-2）-3，
所以直線PQ恒過定點（2，-3）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題、圓錐曲線的軌跡問題，考查學生的運算能力，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，綜合性較強，有一定難度．