Question

【題目】已知定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）對x∈[0，1]恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A.[ ，1]
B.[﹣ ，1]
C.[1，3]
D.（﹣∞，1]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等價為2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）
即f（x3﹣x2+a）≥f（1）對x∈[0，1]恒成立，
即﹣1≤x3﹣x2+a≤1對x∈[0，1]恒成立，
即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a對x∈[0，1]恒成立，
設g（x）=x3﹣x2 ， 則g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），
則g（x）在[0， ）上遞減，在（ ，1]上遞增，
∵g（0）=g（1）=0，g（ ）=﹣ ，
∴g（x）∈[﹣ ，0]，
即 即 ，得﹣ ≤a≤1，
故選：B．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．