Question

對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”．
（1）已知函數，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由；
（2）若為定義域上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）為“局部奇函數”； （2）

解析試題分析：（1）若方程有解，則說明是“局部奇函數”，否則，則說明不是“局部奇函數”。 （2）當時，可化為，用整體思想將視為整體用表示。將上式轉化為的一元二次函數。根據題意可知此二次函數在其定義域上有解。
試題解析：解：（1）為“局部奇函數”等價于關于x的方程有解．
當時，
由得
解得，
所以方程有解，因此為“局部奇函數”．               4分
（2）當時，可化為
．
令， 則，                         6分
從而在有解即可保證為“局部奇函數”．       8分
令，
1° 當，在有解，
由，即，解得；      10分
2° 當時，在有解等價于
解得．              13分
（說明：也可轉化為的大根大于等于2求解）
綜上，所求實數m的取值范圍為．                14分
考點：1新概念問題；2指數函數的值域；3二次函數。