Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=PB，∠ABC=

π

3

，∠BCA=

π

2

，點D、E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角正弦值；
（3）是否存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證BC⊥平面PAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面PAC內兩相交直線垂直，根據線面垂直的性質可知PA⊥BC，而AC⊥BC，滿足定理所需條件；
（2）根據DE⊥平面PAC，垂足為點E，則∠DAE是AD與平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD與平面PAC所成角即可；
（3）根據DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定義可知∠AEP為二面角A-DE-P的平面角，而PA⊥AC，則在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，從而存在點E使得二面角A-DE-P是直二面角．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵D為PB的中點，DE∥BC，
∴DE=

1

2

BC．
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E，
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．
又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，
∴AD=

1

2

AB．
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=

1

2

AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AD

=

BC

2AD

=

2

4

，
即AD與平面PAC所成角的正弦值為

2

4

．
（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC．
這時，∠AEP=90°，
故存在點E使得二面角A-DE-P是直二面角．

點評：考查線面所成角、線面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．