Question

已知a＞0，函數f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，x∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）在點（1，f（1）的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-1，1]的極值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=1代入原函數解析式，求出函數的導函數，得到f′（1）與f（1），然后由直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，求出導函數的兩個零點，由零點對定義域分段，得到在各區間段內導函數的符號，判斷出原函數的單調性，從而求出原函數在[-1，1]上的極值點，進一步求得函數的極值．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=

1

3

x³-x²+

2

3

，
f′（x）=x²-2x，
∴f′（1）=-1，f（1）=0．
則函數f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為y-0=-1×（x-1），
即x+y-1=0；
（Ⅱ）由f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，得
f′（x）=a²x²-2ax．
由f′（x）=0，得x1=0，x2=

2

a

．
當

2

a

＜1，即a＞2時，x∈（-∞，0），（

2

a

，+∞）時f′（x）＞0，
x∈（0，

2

a

）時f′（x）＜0，
∴函數f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=

2

3

，極小值f(

2

a

)=

2a-4

3a

；
當

2

a

=1，即a=2時，x∈（-∞，0），（1，+∞）時f′（x）＞0，
x∈（0，1）時f′（x）＜0，
∴函數f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=

2

3

，極小值f（1）=

a2

3

-a+

2

3

；
當

2

a

＞1，即0＜a＜2時，x∈（-∞，0），（

2

a

，+∞）時f′（x）＞0，
x∈（0，

2

a

）時f′（x）＜0，
∴函數f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=

2

3

．
綜上，當a＞2時，函數f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=

2

3

，極小值f(

2

a

)=

2a-4

3a

；
當a=2時，函數f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=

2

3

，極小值f（1）=

a2

3

-a+

2

3

；
當0＜a＜2時，函數f（x）在[-1，1]上有極大值f（0）=

2

3

．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的極值，體現了分類討論的數學思想方法，是壓軸題．