Question

【題目】某學校高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學生的數學成績是否與性別有關，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統計了他們期中考試的數學分數，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的分數分成5組：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）從樣本中分數小于110分的學生中隨機抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率；
（2）若規定分數不小于130分的學生為“數學尖子生”，請你根據已知條件完成2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關”？

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

附：K2= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，抽取的100名學生中，男生60名，女生40名，

分數小于等于110分的學生中，

男生人有60×0.05=3（人），記為A1，A2，A3；

女生有40×0.05=2（人），記為B1，B2

從中隨機抽取2名學生，所有的可能結果共有10種，它們是：

（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），

（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；

其中，兩名學生恰好為一男一女的可能結果共有6種，它們是：

（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），

（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）

故所求的概率為P= =

（2）解：由頻率分布直方圖可知，

在抽取的100名學生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…

據此可得2×2列聯表如下：

	數學尖子生	非數學尖子生	合計
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合計	30	70	100

所以得K2= = ≈1.79；…

因為1.79＜2.706，

所以沒有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關”

【解析】（1）根據分層抽樣原理計算抽取的男、女生人數，利用列舉法計算基本事件數，求出對應的概率值；（2）由頻率分布直方圖計算對應的數據，填寫列聯表，計算K2值，對照數表即可得出概率結論．