Question

如圖所示,已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點.

（1）用向量法證明E、F、G、H四點共面；

（2）用向量法證明BD∥平面EFGH；

（3）設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有=（）.

Answer 1

解析:(1)連結BG,則=+=+(+)=++=+,

由共面向量定理的推論知E、F、G、H四點共面.

(2)∵=-=-

=(-)=,

∴EH∥BD.又EH面GH,BD面EFGH,

∴BD∥平面EFGH.

(3)連結OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG,

由(2)知=.同理, =.

∴=,EHFG.

∴EG、FH交于一點M且被M平分.

∴=(+)=+

=［(+)］+［(+)］=(+++).