Question

如圖所示，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為3的正方體，點E在AA₁上，點F在CC₁上，G在BB₁上，且AE=FC₁=B₁G=1，H是B₁C₁的中點．
（1）求證：E、B、F、D₁四點共面
（2）求證：平面A₁GH∥平面BED₁F．

Answer 1

分析：（1）在DD₁上取點N，使DN=1，連接EN，CN，易得四邊形ADNE是平行四邊形，以及四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN∥BE，則FD₁∥BE，得到E、B、F、D₁四點共面；
（2）利用三角形相似證明HG∥FB，由（1）知，A₁G∥BE，從而可證平面A₁GH∥平面BED₁F．

解答：證明：（1）如圖：在DD₁上取一點N使得DN=1，
連接CN，EN，則AE=DN=1．CF=ND₁=2、
因為CF∥ND₁所以四邊形CFD₁N是平行四邊形，
所以D₁F∥CN．
同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN∥AD，且EN=AD，
又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，
所以四邊形CNEB是平行四邊形，
所以CN∥BE，
所以D₁F∥BE，
所以E，B，F，D₁四點共面；
（2）因為H是B₁C₁的中點，所以B₁H=

3

2

，
因為B₁G=1，所以

B1G

B1H

=

2

3

，
因為

FC

BC

=

2

3

，且∠FCB=∠GB₁H=90°，
所以△B₁HG∽△CBF，
所以∠B₁GH=∠CFB=∠FBG，
所以HG∥FB，
由（1）知，A₁G∥BE且HG∩A₁G=G，FB∩BE=B，
所以平面A₁GH∥平面BED₁F．

點評：本題主要考查了了共面的判定，考查面面平行的判定，考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力，屬于中檔題．