Question

如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點(diǎn)，E是邊AC上任一點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)是線段DE上一點(diǎn)，連接BF，設(shè)，

DF

DE

=λ1，

AE

AC

=λ2，且λ1+λ2=

1

2

，記△BDF的面積為S=f （λ₁，λ₂，），則S的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先由△ABC的面積為1，

AE

AC

=λ2，得出：△ABE的面積為λ₂，D是AB的中點(diǎn)，得到△BDE的面積為

λ2

2

，代入△BDF的面積中，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得S的最大值即可．

解答：解：因?yàn)椤鰽BC的面積為1，

AE

AC

=λ2，所以，△ABE的面積為λ₂，
因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以，△BDE的面積為

λ2

2

，因?yàn)?span id="s0wuyyu" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

DF

DE

=λ1，
所以△BDF的面積為

1

2

λ1λ2≤

1

2

(

λ1+λ2

2

)2=

1

32

，
當(dāng)且僅當(dāng)λ₁=λ₂時(shí)，取得最大值．
故答案為：

1

32

．

點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．基本不等式在解決生活問題中常被用到，也是高考應(yīng)用題中熱點(diǎn)，平時(shí)應(yīng)用注意這方面的訓(xùn)練．