Question

已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB，（如圖1）．現將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖2），連結AC、AB，設M是AB的中點．
（I）求證：BC⊥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-E的正切值；
（Ⅲ）判斷直線EM是否平行于平面ACD，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）在圖1中，過C作CF⊥EB，垂足為F，連結CE．結合題意證出四邊形CDEF為邊長等于1的正方形，可得CE=CB=

2

，△BCE中利用勾股定理的逆定理證出BC⊥CE，在圖2中由AE⊥平面BCDE得AE⊥BC，根據線面垂直判定定理，即可證出BC⊥平面AEC．    
（2）過點F作FH⊥AB于H，連結CH，由（1）的結論證出平面ABE⊥平面BCDE，從而得到CF⊥平面ABE，可得CH⊥AB，得∠FHC就是二面角C-AB-E的平面角．Rt△FHC中算出FH的長，算出tan∠FHC=

CF

FH

=

5

，即可得到二面角C-AB-E的正切值；
（3）假設EM∥平面ACD，根據線面平行的判定定理證出EB∥平面ACD，結合EM、EB是相交直線證出平面AEB∥平面ACD，這與題設平面AEB與平面ACD是相交的平面矛盾．因此假設不成立，即可得到EM與平面ACD不平行．

解答：解：（1）在圖1中，過C作CF⊥EB，垂足為F，連結CE
∵DE⊥EB，CD∥AB，∴四邊形CDEF是矩形，
∵CD=1，∴EF=1．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，
∴AE=BF=

1

2

（AB-CD）=1．
∵∠BAD=45°，∴Rt△ADE中，DE=AE=1，
可得四邊形CDEF為邊長等于1的正方形
因此，CE=CB=

2

，
由此可得△BCE中，CE²+CB²=4=BE²
∴∠BCE=90°，可得BC⊥CE
∵在圖2中，AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，
∴AE⊥平面BCDE．
∵BC?平面BCDE，∴AE⊥BC．         
∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．    
（2）過點F作FH⊥AB于H，連結CH
∵AE⊥平面BCDE，AE?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCDE，
∵CF⊥BE，CF?平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴CF⊥平面ABE，可得FH是CH在平面ABE內的射影
∵FH⊥AB，∴CH⊥AB，可得∠FHC就是二面角C-AB-E的平面角
由Rt△AEB∽Rt△FHB，可得

FH

AE

=

BF

BA

即

FH

1

=

1

5

，可得FH=

5

5

Rt△FHC中，tan∠FHC=

CF

FH

=

5

∴二面角C-AB-E的正切值等于

5

；
（3）反證法：假設EM∥平面ACD．                          
∵EB∥CD，CD?平面ACD，EB?平面ACD，
∴EB∥平面ACD．
∵EB∩EM=E，∴平面AEB∥平面ACD                         
結合題意，平面AEB與平面ACD是相交的平面，矛盾．
∴假設不成立，可得EM與平面ACD不平行．

點評：本題給出平面圖形的折疊，求證線面垂直并求二面角的大小．著重考查了空間垂直、平行位置關系的判斷與證明和二面角的定義與求法等知識，屬于中檔題．