Question

17、如圖，已知四邊形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥DC．

Answer 1

分析：（1）令E為PD的中點，連接AE，NE，根據三角形中位線定理，及中點的定義，我們易判斷MN∥AE，結合線面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD；
（2）根據已知中，四邊形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我們易結合線面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，進而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根據兩條平行線與同一條直線的夾角相等，即可得到結論．

解答：證明：（1）設PD的中點為E，連AE，NE，
則易得四邊形AMNE是平行四邊形
則MN∥AE，MN?平面PAD，AE?平面PAD
所以MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又AD⊥CD，PA∩DA=A
∴CD⊥平面PAD
∵AE?平面PAD
∴CD⊥AE
∵MN∥AE
∴MN⊥DC

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，其中熟練掌握線面平行及線面垂直的判定定理及證明步驟是解答此類問題的關鍵．