Question

（2013•江西）設(shè)f（x）=

3

sin3x+cos3x，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有|f（x）|≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a≥2

．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=|f（x）|=|

3

sin3x+cos3x|，利用正弦函數(shù)的特點(diǎn)求出F（x）_max，從而可得答案．

解答：解：∵不等式|f（x）|≤a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
令F（x）=|f（x）|=|

3

sin3x+cos3x|，
則a≥F（x）_max．
∵f（x）=

3

sin3x+cos3x=2sin（3x+

π

6

）
∴-2≤f（x）≤2
∴0≤F（x）≤2
F（x）_max=2
∴a≥2．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2
故答案為：a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差公式及構(gòu)造函數(shù)的思想，考查恒成立問題，屬于中檔題．