Question

（本小題滿分12分）  如圖，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各條棱長均為2，M是BC的中點．

（Ⅰ）求證：A₁C∥面AB₁M；

（Ⅱ）在棱CC₁上找一點N，使MN⊥AB₁；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角M－AB₁－N的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連結A₁B，交AB₁于P，則PM//A₁C，又PMÌ面AB₁M，A₁CË面AB₁M，

∴A₁C∥面AB₁M．      4分

（Ⅱ）解：取B₁C₁中點H，連接MH，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，、、兩兩垂直，故分別以、、為x、y、z軸，建立如圖空間坐標系．設()，則，，，，∴，．

由，有，解得，故在棱CC₁上的點N滿足，使MN⊥AB₁．    8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），，，則，，又，則面AB₁M一個法向量．

設面AB₁N的一個法向量，，，

由即取，  10分

則，

故二面角M－AB₁－N的大小為．  12分