Question

已知點，，動點G滿足．
（Ⅰ）求動點G的軌跡的方程；
（Ⅱ）已知過點且與軸不垂直的直線l交（Ⅰ）中的軌跡于P，Q兩點．在線段上是否存在點，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）的方程是．（Ⅱ）存在，實數m的取值范圍是．

試題分析：（Ⅰ）由橢圓的定義知，動點G的軌跡是以，為焦點的橢圓，由題設即可得動點G的軌跡的方程.（Ⅱ）要使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，只需即可．設，則，，由得移項用平方差公式得   ①
設直線的方程為，則，，故①式變形為，然后用韋達定理可得一個與的關系式：，由此關系式可看出，這樣的點存在，并由可求出的取值范圍.
另外，由于，所以也可利用得：.
試題解析：（Ⅰ）由，且知，動點G的軌跡是以，為焦點的橢圓，設該橢圓的標準方程為，，
由題知，，則，
故動點G的軌跡的方程是． 4分
（Ⅱ）假設在線段上存在，使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．直線l與軸不垂直，設直線的方程為，，
由可得．
， ． 6分
，，，其中．
由于MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，
所以，則有， 8分
從而，
所以，
又，則，，
故上式變形為， 10分
將代入上式，得，
即，所以，可知．
故實數m的取值范圍是．                   ..13分