Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點為，右頂點在圓：上.
（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；
（Ⅱ）已知過點的直線與橢圓交于另一點，與圓交于另一點.請判斷是否存在斜率不為0的直線，使點恰好為線段的中點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在

試題分析：（Ⅰ）由圓方程可知圓心為，即，又因為離心率為，可得，根據橢圓中關系式，可求。橢圓方程即可求出。因為，則右頂點為，將其代入圓的方程可求半徑。（Ⅱ）設出直線方程，然后和橢圓方程聯立，消掉y（或x）得到關于x的一元二次方程。再根據韋達定理得出根與系數的關系。因為是其中一個交點，所以方程的一個根為2。用中點坐標公式求點的坐標，再將其代入圓方程。解出的值。若則說明存在滿足條件的直線可求出其方程，若，則說明不存在滿足條件的直線。法二：假設存在，由已知可得，因為點為線段的中點，所以，因為點在橢圓上可推導得，與矛盾，故假設不成立。
試題解析：（Ⅰ）由題意可得，                           1分
又由題意可得，
所以，                                          2分
所以,                                  3分
所以橢圓的方程為.                        4分
所以橢圓的右頂點，                            5分
代入圓的方程，可得,
所以圓的方程為.                       6分
（Ⅱ）法1：
假設存在直線:滿足條件，              7分
由得          8分
設，則,                         9分
可得中點，                           11分
由點在圓上可得
化簡整理得                                      13分
又因為，
所以不存在滿足條件的直線.                            14分
（Ⅱ）法2：
假設存在直線滿足題意.
由（Ⅰ）可得是圓的直徑，                          7分
所以.                                         8分
由點是中點，可得.                   9分
設點，則由題意可得.                 10分
又因為直線的斜率不為0，所以,                  11分
所以,           13分
這與矛盾，所以不存在滿足條件的直線.           14分