Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1（﹣2，0），點B（2， ）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為 （a＞b＞0），
則c=2，a2﹣b2=c2 ， =1，解得：a2=8，b2=4．
可得橢圓C的方程為 =1；
（Ⅱ）如圖，設F（x0 ， y0），E（﹣x0 ， ﹣y0），則 =1，A（﹣2 ，0），
AF所在直線方程y= （x+2 ），
取x=0，得y= ，
∴N（0， ），
AE所在直線方程為y= （x+2 ），
取x=0，得y= ．
則以MN為直徑的圓的圓心坐標為（0， ），
半徑r= ，
圓的方程為x2+（y﹣ ）2= = ，即x2+（y+ ）2= ．
取y=0，得x=±2．
可得以MN為直徑的圓經過定點（±2，0）．
可得在x軸上存在點P（±2，0），
使得無論非零實數k怎樣變化，總有∠MPN為直角．

【解析】（Ⅰ）由題意可設橢圓標準方程為 （a＞b＞0），結合已知及隱含條件列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2 ， b2的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設F（x0 ， y0），E（﹣x0 ， ﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經過定點（±2，0），即可判斷存在點P．