Question

【題目】已知函數（且）

（1）若在定義域內單調遞增，求實數a的取值范圍；

（2）若有兩個不同的極值點，記過點，的直線的斜率為k，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由在上恒成立，再轉化為求函數最值．

（2）由（1）知時函數有兩個極值點，，不妨設，從而有，求出，并湊配出，這樣只要證明，再利用函數在單調性可證明．

解：定義域，

由在定義域內單調遞增，等價于對任意，都有，

即恒成立，而，

故，又，所以.

（2）定義域，設，其判別式，當時，由（1）得由在定義域內單調遞增，無極值點，

當時，，兩根為，，當時，上；當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減.即是函數的極值點，不妨設，則且.

，所以

，而，

而且得，故，所以，.

設，（），而，

所以在上單調遞增，所以，而，故.