Question

【題目】如圖，將等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折，使二面角的大小為，翻折后的中點為.

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折，則， ，又是的中點，易得，，再利用線面垂直的判定定理證明.

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，不妨設，易知二面角的平面角是，則，然后分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，代入公式求解..

（Ⅰ）∵折疊前，是斜邊上的高，

∴是的中點，

∴，又因為折疊后是的中點，

∴，折疊后，

∴，，

∴平面；

（Ⅱ）建立如圖空間直角坐標系，

不妨設，易知二面角的平面角是，

則，

∴，，，，

設平面的一個法向量為，

得，即，令,

得，

設平面的一個法向量,

得，即，令，

得

∴.

所以二面角的余弦值是 .