Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為正方形，且平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？并說明理由；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，分別取，中點(diǎn)，，連接，，，，由平面幾何知識證明四邊形是平行四邊形，最后由線面平行的判定定理證明即可；

（2）取中點(diǎn)，連接，，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面.理由如下：

如圖，分別取，中點(diǎn)，，連接，，，

又∵是的中點(diǎn)，∴，

又∵為正方形，則，

∴，

又∵是中點(diǎn)，∴，，則四邊形是平行四邊形

∴

又平面，平面，

∴平面.

（2）如圖，取中點(diǎn)，連接，

又，則

∵平面平面，平面平面，平面

∴平面

∴以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，則，，，，

∴，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

令得，，則，

∴

∴直線與平面所成角的正弦值為.