Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，平面側面，且．

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直性質定理進行論證，而題中已知面面垂直平面側面，因此先根據面面垂直性質定理，將其轉化為線面垂直平面，其中為的中點，因而有，再根據直三棱柱性質得底面，因而有，結合線面垂直判定定理得側面，因此得證（2）求二面角平面角，一般利用空間向量進行計算，先建立恰當空間直角坐標系，設立各點坐標，可得直線方向向量，列方程組求平面法向量，由線面角與向量夾角互余關系，結合向量數量積得，易得平面的一個法向量，根據二面角與法向量夾角相等或互補關系，結合向量數量積得二面角大小

試題解析：（1）證明：如圖，取的中點，連接，因，則，由平面側面，且平面側面，得平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

又平面，所以，因為三棱柱是直三棱柱，則底面，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

又，從而側面，又側面，故．．．．．．．．．．．6分

（2）

解法一：連接，由（1）可知平面，則是在平面內的射影．．．．．． 7分

∴即為直線與平面所成的角，則，在等腰直角中，，且點是中點，

∴，且，∴．．．．．．．．．．9分

過點作于點，連，由（1）知平面，則，且，

∴即為二面角的一個平面角，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分

在直角中：，又，

∴，且二面角為銳二面角，∴，

即二面角的大小為．．．．．．．．．．．．． 12分

解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以點為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

如圖所示，且設，則，

，設平面的一個法向量，由得：令，得，則，．．．．．．．．．．9分

設直線與平面所成的角為，則，得，解得， 即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

又設平面的一個法向量為，同理可得，設銳二面角的大小為，則，且，得，∴銳二面角的大小為．．．．．．．．．．．．12分