Question

【題目】已知函數，

(1)若的一個極值點到直線的距離為1，求的值；

(2)求方程的根的個數

Answer 1

【答案】（1）a＝－2或a＝－8.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求出函數 的導函數 ，令，可得函數只有一個極值點，根據點到直線的距離公式可得結果；（2） 根的個數等價于的零點個數，利用導數研究函數的單調性，可得結果.

試題解析：(1)由f′(x)＝＝0，得x＝0，

故f(x)僅有一個極小值點M(0,0)，

根據題意得：

d＝＝1.

∴a＝－2或a＝－8.

(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x2＋1)－－a，

h′(x)＝＋＝2x.

當x∈(0,1)∪(1，＋∞)時，h′(x)≥0，

當x∈(－∞，－1)∪(－1,0)時，h′(x)＜0.

因此，h(x)在(－∞，－1)，(－1,0)上時，h(x)單調遞減，

在(0,1)，(1，＋∞)上時，h(x)單調遞增.

又h(x)為偶函數，當x∈(－1,1)時，h(x)的極小值為h(0)＝1－a.

當x→－1－時，h(x)→－∞，當x→－1＋時，h(x)→＋∞，

當x→－∞時，h(x)→＋∞，當x→＋∞時，h(x)→＋∞.

由根的存在性定理知，方程在(－∞，－1)和(1，＋∞)一定有根

故f(x)＝g(x)的根的情況為：

當1－a＞0時，即a＜1時，原方程有2個根；

當1－a＝0時，即a＝1時，原方程有3個根．

當1－a<0時，即a>1時，原方程有4個根．