Question

【題目】若無窮數列滿足：恒等于常數,則稱具有局部等差數列.

（1）若具有局部等差數列，且，求；

（2）若無窮數列是等差數列，無窮數列是公比為正數的等比數列，，，，判斷是否具有局部等差數列，并說明理由；

（3）設既具有局部等差數列，又具有局部等差數列，求證：具有局部等差數列.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）由題意得， ，，．

于是，又因為，代入解得．………………3分

（2）的公差為，的公比為，

所以，．

．

，當時，不恒為常數，

所以不具有局部等差數列．………………8分

（3）由題意得：當時成等差數列， 也成等差數列，

所以當時

于是當時成等差數列，因此（），

從而當時成等差數列，公差為

由當時，

所以

因此當時成等差數列，公差為 ，即具有局部等差數列.………………16分

【命題意圖】本題考查等差數列、等比數列的通項公式，數列單調性，反證法等基礎知識，意在考查邏輯思維及推理能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力．