Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）令

①當時，求函數在點處的切線方程；

②若時，恒成立，求的所有取值集合與的關系；

（Ⅱ）記，是否存在，使得對任意的實數，函數在上有且僅有兩個零點？若存在，求出滿足條件的最小正整數，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）2

【解析】

（1）①根據導數的幾何意義，即可求解切線的方程；②由，即，利用導數求得函數的單調性和最值，即可求解.

（Ⅱ）令 ，，根據題意，由和，及存在，使得，分類討論，即可求解.

（1）①由題意，可得，

則，所以，

所以在處的切線方程為

②由，即

則，，

因為在上單調遞減，所以，

存在，使得，

函數在上單調遞增，在上單調遞減，，

由得，，

∴，所以的所有取值集合包含于集合.

（Ⅱ）令 ，

（1），，

由于，，，，，

由零點存在性定理可知，，函數在定義域內有且僅有一個零點.

（2），，，，，

同理可知，函數在定義域內有且僅有一個零點.

（3）假設存在，使得，

則，消，得.

令，，所以單調遞增.

∵，，∴，

此時，

所以滿足條件的最小正整數.