Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在定義域內為增函數，求實數的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，若， ， ，求的極小值；

（3）設， .若函數存在兩個零點，且滿足，問：函數在處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）不能

【解析】試題分析：（1）先根據題意寫出：g（x）再求導數，由題意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即，n由此即可求得實數a的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用換元法令t=ex，則t∈[1，2]，則h（t）=t3-3at，接下來利用導數研究此函數的單調性，從而得出h（x）的極小值；
（Ⅲ）對于能否問題，可先假設能，即設F（x）在（x0，F（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x2-kx結合題意，列出方程組，證得函數在（0，1）上單調遞增，最后出現矛盾，說明假設不成立，即切線不能否平行于x軸．

試題解析：

解：（Ⅰ）

由題意，知恒成立，即

又，當且僅當時等號成立.

故，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，則，則

由，得或（舍去），，

①若，則單調遞減；在也單調遞減；

②若，則單調遞增. 在也單調遞增；

故的極小值為

（Ⅲ）設在的切線平行于軸，其中

結合題意，有

①-②得，所以由④得

所以⑤

設，⑤式變為

設，

所以函數在上單調遞增，因此，，即

也就是，，此式與⑤矛盾.

所以在處的切線不能平行于軸.