Question

【題目】已知（為常數）．

（1）當時，求函數的單調性；

（2）當時，求證： ；

（3）試討論函數零點的個數．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）將參數值代入得到函數表達式，求導研究導函數的正負即可；（2）記，由題意即證，當時， ，對函數求導研究單調性求最值即可；（3）直接對函數求導，研究函數的單調性，得到函數的變化趨勢，結合圖像討論函數的零點個數。

解析：

（1）解當時， ，所以（），

當時， ；當時， ；

故在上單調遞增，在上單調遞減．

（2）證明：記，

由題意即證，當時， ．

又（），

記，則，

所以在上恒成立，則在上單調遞減，

，即證．

（3）由題意， （）．

①若，則，故在上單調遞增，

又因為，且，

由零點存在性定理知， 在上有且只有一個零點．　

②若，當， ，則在上單調遞增；

當， ，則在上單調遞減，

所以， 是在上的極大值點，也是最大值點， .

（i）當，即， 恒成立，則在上無零點；

（ii）當，即， ，則在上有一個零點；

（iii）當，即， ，

而當時，有，理由如下：令（），則，

所以在上單調遞增， ，即．　

，由（2）知，而，

由在上的單調性及零點存在性定理可知， 分別在和上各有一個零點，即在上有兩個零點．

綜上所述，當或時， 在上有一個零點；

當時， 在上有兩個零點；

當時， 在上沒有零點．.