Question

已知．

(1) 求函數在上的最小值；

(2) 對一切，恒成立，求實數a的取值范圍；

(3) 證明：對一切，都有成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）構造函數，利用導數證明

【解析】

試題分析：(1)由題意知，

當，，單調遞減，

當，，單調遞增． 

① ，t無解；

② ，即時，；

③ ，即時，在上單調遞增，；

所以．                                          ……4分

(2) ，則，

設，則，

，，單調遞減，

，，單調遞增，

所以．

因為對一切，恒成立，所以．                                                        ……9分

（3）問題等價于證明，

由⑴可知的最小值是，當且僅當時取到．　

設，則，

易得，當且僅當時取到，

從而對一切，都有成立．                          ……14分

考點：本小題主要考查利用導數求最值，恒成立問題和構造函數證明不等式.

點評：恒成立問題一般轉化為最值解決，而證明不等式時，一般會構造新函數，利用導數研究函數的單調性，最值等，進而證明不等式.