Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，BC=

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，點E在線段AB的延長線上．若曲線段DE（含兩端點）為某曲線L上的一部分，且曲線L上任一點到A、B兩點的距離之和都相等．
（1）建立恰當的直角坐標系，求曲線L的方程；
（2）根據曲線L的方程寫出曲線段DE（含兩端點）的方程；
（3）若點M為曲線段DE（含兩端點）上的任一點，試求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值時點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意，先建立平面直角坐標系，利用曲線的方程這一概念求其動點的軌跡方程；
（2）由題意知x_D＜x＜x_E，y≥0，而x_D=x_A=-2，x_E=4，從而得出所求曲線段DE的方程，利用曲線的方程這一概念求其動點的軌跡方程，要注意求解方程之后要有題意去排雜；
（3）由橢圓的定義及點M為曲線段DE（含兩端點）上的任一點可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，則|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2

3

即可求得|MC|+|MA|有最小值．

解答：解（1）如圖，以AB所在的直線為x軸，其垂直平分線為y軸，建立所示的直角坐標系，
則A(-2，0)，B(2，0)，C(2，

3

)，D(-2，3)，|DA|=3，|DB|=5．
設動點M（x，y）為曲線L上的任一點，
則|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8，
即

(x+2)2+y2

+

(x-2)2+y2

=8
整理得

x2

16

+

y2

12

=1，為所求曲線L的方程
（2）由題意知x_D＜x＜x_E，y≥0，
而x_D=x_A=-2，x_E=4
則所求曲線段DE的方程為

x2

16

+

y2

12

=1(-2≤x≤4，y≥0)
（3）由橢圓的定義及點M為曲線段DE（含兩端點）上的任一點可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，
則|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2

3

，
當且僅當點M位于線段BC的交點處時等號成立，
由BC⊥AB知此時點M的橫坐標為2，則其縱坐標為3，
即當點M的坐標為（2，3）時|MC|+|MA|有最小值8-2

3

．

點評：重點考查了利用曲線的方程這一概念，先建立平面直角坐標系，然后利用定義法求其動點的軌跡方程，并進行實際問題的排雜．